"La fragilidad de la belleza en las matemáticas y en el arte"
Sarah Jones Nelson y Enrico Bombieri
Una colaboración bajo los auspicios de la Escuela de Matemáticas, Instituto de Estudios Avanzados, Princeton, Nueva Jersey
Publicado en Arte en la vida de los matemáticos
Anna Kepes Szemerédi, editora, American Mathematical Society: Providence, Rhode Island, 2015
¿Existe la belleza en las matemáticas? La pregunta concierne a los objetos matemáticos y sus relaciones , el tema real de las pruebas verificables. Los matemáticos generalmente están de acuerdo en que la belleza existe en la belleza estructural de los teoremas y demostraciones, en gran parte visible solo para los mismos matemáticos, y en la belleza matemática que todos pueden ver en el arte y la naturaleza. Patrones irrefutablemente hermosos emergen universalmente de la relación de elementos y objetos en mosaicos, por ejemplo, en la pintura de paisajes, ríos que fluyen y en las simetrías en espiral de conos de pino y conchas marinas. Los patrones matemáticos en las formaciones físicas le dan una sensación de belleza inalterada por la variación de sus elementos: universalidad, simetría, simplicidad, elegancia y poder.
La crítica de la belleza en el arte es frágil porque depende de estándares relativos de juicio que varían en el tiempo entre culturas. Para Leibniz, esto explicaba la diferencia entre las verdades de hecho y las verdades de razonamiento que reflejan la intención crítica. Hasta la Ilustración tardía, una distinción formal de Kant era ininteligible entre la percepción de la belleza natural como un objeto bello y la belleza artística como una bella representación de un objeto. En la tradición de su época, Kant utilizó la teoría griega clásica de las proporciones en la naturaleza y en el arte para verificar sus creencias en la verdad fáctica de la belleza. Sin embargo, el análisis de Hume de los hechos, los valores y el gusto, combinado con la teoría de la ética de Spinoza y las emociones como la envidia y el amor, ya habían hecho de la vida interior de las emociones fuertes una norma permanente de juicio crítico. Esto invirtió la idea renacentista de que el arte es el espejo de la naturaleza que unifica la verdad óptica y la belleza fáctica, mostrada por primera vez en las nuevas matemáticas de la perspectiva de Alberti. La unificación griega clásica de la verdad, la belleza y la bondad moral, un tropo platónico para realistas de ideas afines como Brunelleschi, Giotto, Leonardo y Miguel Ángel, contradice salvajemente cualquier juicio o crítica amoral de la belleza en el arte abstracto y moderno tardío.
Leon Battista Alberti fue filósofo y abreviador o secretario de la Curia Papal. Primero formalizó la perspectiva de un punto en De pictura (1435) y en la lengua vernácula Della pittura (1436). Alberti colaboró en Florencia con el arquitecto Filippo Brunelleschi. En Roma trabajó con Luca Pacioli, matemático y colaborador de Leonardo da Vinci en Milán en De divina proporione (1509). Brunelleschi había obtenido su brevetto en matemáticas y había estudiado con Paolo dal Pozzo Toscanelli, el matemático, astrónomo, cosmógrafo y consejero florentino de Colón. Pacioli probablemente fue alumno de Piero della Francesca, pintor, matemático y teórico de De prospectiva pingendi (1474). Este tratado formalizó su exquisitamente simétrica Brera Madonna (1472-1474) de la misma manera que su pala d'altare de San Antonio (c. 1470). La perspectiva pictórica, la representación bidimensional del espacio tridimensional, se convirtió así en una filosofía y una regla de arte preferida, dijo Leonardo, a todos los sistemas de aprendizaje debido a su base en las certezas de la física y las matemáticas, y de los patrocinadores encargados. con gusto por el trampantojo .
La notable continuidad del realismo platónico en el arte y las matemáticas se extiende a la creencia generalizada de que los números, la geometría y todas las matemáticas se revelan desde un reino absoluto de objetos o formas puras paradójicamente independientes de los sentidos y de la realidad física. Desde el punto de vista platónico, un matemático descubre objetos preexistentes como la proporción áurea; mientras que el formalista inventa y construye pruebas como un arquitecto o un constructor de objetos matemáticos hechos con los materiales de una cultura dada. La mayoría de los matemáticos son platónicos los domingos y trabajan de manera formalista los días de semana. Muchos juegan con una multitud de sistemas matemáticos válidos y objetivamente distintos, una vez universales para Platón, en un mundo de abundante platonismo.
La proporción áurea φ es un objeto simple que expresa una estructura oculta fundamental del arte renacentista. En geometría euclidiana, φ es la relación entre el lado de la estrella-pentágono regular y el lado del pentágono regular. En matemáticas contemporáneas, φ es igual a 1 más la raíz cuadrada de 5 dividida por 2:
Las propiedades de la proporción áurea se relacionan profundamente con el número 5, un tema de fascinación desde que Platón afirmó que los números emanan de objetos preexistentes revelados y descubiertos en el reino de las formas puras. La historiadora Annemarie Schimmel, en Das Mysterium der Zahl , la edición en inglés The Mystery of Numbers (1983), documentó la asociación en la antigüedad del número 5 con el pentagrama místico del conocimiento cabalístico. Las variantes apócrifas de Génesis 1:27 describen el comienzo edénico del universo en el que el número 5 se originó a partir de la unión de los números 2 y 3, simbolizando las primeras formas de mujer y hombre, con 1 simbolizando a Dios y la unificación de la realidad física.
Las estructuras de cinco en cinco surgen por doquier en la naturaleza y en el arte. Por ejemplo, la proporción de la proporción áurea es claramente visible en las simetrías quíntuples de ciertas plantas y flores. El Hombre de Vitruvio de Leonardo (1490) sugiere que el propio cuerpo humano es una estrella-pentágono que expresa la proporción áurea como una metáfora de la naturaleza y un modelo de simetría y proporción en el diseño. Las obras de Piero expresan estructuras quíntuples en la geometría lineal de conmensurazione , su estándar para juzgar el contorno y la proporción. La pala d'altare de Saint Anthony presenta una subdivisión central en cinco espacios verticales con una subdivisión vertical en cinco secciones. La Virgen de Brera presenta tres santos y dos ángeles a la izquierda con dos ángeles y tres santos a la derecha, completando la simetría. Un patrón parcialmente blindado a la derecha, Federigo da Montefeltro, duque de Urbino, aporta un fuerte elemento de tensión que rompe la simetría. De esta manera, Piero restablece un armonioso equilibrio donde el Duque se arrodilla, manos en oración, dirigiendo su mirada en diagonal hacia la Virgen y su Hijo pequeño. Otro cuadro muy conocido de Piero, la Natividad (c.1470), ve al Niño frágil rodeado a la izquierda por cinco ángeles cantando y tocando el laúd, con dos pastores, San José, y el asno y el buey a la derecha, como telón de fondo. esta obra maestra de la asimetría; la Virgen en adoración y la misteriosa paloma del Espíritu Santo en lo alto completan esta tierna imagen de humildad. Matemáticamente aún más elegante es su Madonna del Parto (hacia 1460), que presenta la paradoja de una Virgen embarazada contorneada por una tienda en forma de pentágono. Piero pretendía que sus obras representaran los elementos de la narrativa bíblica en un lenguaje simbólico que unificaba el formalismo con el análisis matemático. Maestro pragmático de la técnica, nunca se detuvo en la mera presciencia y no dejó nada al azar.
La proporción áurea no solo es un simple objeto antiguo; φ también juega un papel importante en la formación de las matemáticas modernas. Al ser el número irracional entre 1 y 2 más alejado de los números racionales, la proporción áurea tiene la propiedad de ser el número único entre 1 y 2 que requiere el mayor valor del denominador q para alcanzar una aproximación dada por el número racional p dividido por q. Citamos dos fórmulas sorprendentemente elegantes para la proporción áurea. En el primero, φ es igual a la raíz cuadrada de 1 más la raíz cuadrada de 1 más la raíz cuadrada de 1 en una construcción anidada hasta el infinito; en el segundo, φ es igual a 1 dividido por 1 más 1 dividido por 1 más 1 dividido por 1 en una construcción anidada hasta el infinito. La segunda fórmula es la más interesante de las dos como punto inicial para la demostración de la extrema irracionalidad de la proporción áurea.
La secuencia de Fibonacci, que lleva el nombre de Leonardo de Pisa (llamado Fibonacci), expresa la proporción áurea con hermosa precisión. Fibonacci lo publicó por primera vez en Liber Abaci (1201). Había trabajado para su padre en una aduana cerca de Argel y estudió con matemáticos musulmanes a lo largo de las rutas comerciales del Mediterráneo para convertirse en el matemático más renombrado de la Europa medieval. La secuencia de Fibonacci es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,. . . hasta el infinito, donde cada número después de los dos primeros es la suma de los dos números anteriores. Da las mejores aproximaciones racionales a la proporción áurea; las fracciones Fn + 1 / Fn acercarse cada vez más a φ. La secuencia de Fibonacci se expresa también en términos de proporción áurea:
La geometría euclidiana y la proporción áurea forman la primera base de la belleza en la historia de las matemáticas. Imagínese que en 1899, más de dos milenios después de que Euclides escribiera Elementos , el matemático Frank Morley descubrió el último teorema genuinamente nuevo en geometría euclidiana. El teorema de Morley establece que los tres puntos donde se encuentran los trisectores de los ángulos de un triángulo arbitrario son los vértices de un triángulo equilátero. ¡Hermosa! Puede preguntarse por qué un resultado como el teorema de Morley nunca ocurrió en la geometría euclidiana clásica: probablemente porque los griegos de la antigüedad clásica no pudieron obtener la trisección de un ángulo usando construcciones euclidianas. Hoy en día, los matemáticos saben que la trisección de un ángulo no se puede hacer dentro del marco de la geometría euclidiana plana. Consideran que este resultado 'negativo' es una hermosa consecuencia de la teoría de Galois (1832) sobre la resolubilidad de las ecuaciones algebraicas, obtenida mediante resultados profundos sobre grupos de permutación. Entonces, lo que alguna vez pudo haber sido un defecto en la geometría euclidiana, la imposibilidad de probar el teorema de Morley en su contexto, ahora es un hermoso descubrimiento que aumenta nuestro conocimiento de la geometría, la lógica y las correspondientes formaciones de simetría.
Puede inferir de nuestra historia de la proporción áurea que es un pilar fundamental de todas las matemáticas. Pero la ecuación de Laplace Uxx + Uyy + Uzz = 0 es mucho más significativo. Una y otra vez aparece en el análisis, en la probabilidad, en la física matemática, la astrofísica, la química, incluso en la ingeniería financiera; de hecho, en todos los casos que involucran el estado de equilibrio de un sistema. Expresa bellamente la poderosa relevancia de las matemáticas para cuestiones profundas y abiertas, por ejemplo, en filosofía sobre la causalidad. La Mécanique céleste de Laplace (1829) desarrolla la mecánica newtoniana y el cálculo diferencial hasta el punto de que el determinismo parece un estado ineludible de la realidad física: conocer las fuerzas y conocer la posición y velocidad de cada partícula en el universo en un momento dado, el estado del universo en cualquier momento posterior se determina de forma única; así, con Laplace, el azar, la acción libre o la agencia son ficciones causales sobre las verdaderas leyes de la naturaleza. Pero su ecuación es solo un modelo matemático simple. ¿Es correcto o ¿Es elegante extraer de él consecuencias filosóficas tan radicales, o sugerir que las leyes de la naturaleza nunca han sido revisadas por nuevos descubrimientos?
Ahora, con el advenimiento de la teoría cuántica, sabemos que el sistema de Laplace no puede describir todos los mecanismos del universo observable. En mecánica cuántica, el estado del universo viene dado por una función de onda ψ que satisface la ecuación de Schrödinger, un pariente cercano de la ecuación de Laplace. Para Schrödinger también la evolución de ψ es determinista: conociendo la función de onda en un momento dado, se determina de forma única en momentos posteriores. Sin embargo, la función de onda solo describe la probabilidad de resultados de una observación. Casi un siglo después de la formulación de la teoría cuántica, todavía no hay consenso sobre su dominio de validez, tal vez porque contradice la mecánica clásica y la fuerte visión, que es la base de la ciencia y la sociedad, de que los procesos naturales y las acciones humanas están determinadas por el pasado y los simples mecanismos de causa y efecto. Pero, ¿cómo pueden las acciones que producen algo tan sorprendentemente complejo e indeterminado como una hermosa prueba nueva, o el exuberante realismo del Renacimiento, emerger en un universo predeterminado por leyes fijas?
La opinión de que las matemáticas son intrínsecas a las leyes de la naturaleza, a las emociones humanas y a las artes se muestra maravillosamente en el grabado más célebre de Alberto Durero, Melencolia I (1514). Su imagen central de una mujer alada mirando oscuramente hacia adentro, como un oráculo que contempla las formas sombrías del cosmos, simboliza la melencholia imaginativa , un tropo moderno temprano de la medicina griega clásica y el análisis de los cuatro humores o temperamentos. Ella personifica el genio del arte y la realidad matemática profunda: una esfera pone en primer plano el universo finito perfecto; un poliedro, el romboedro truncado, representa la geometría descriptiva de los sólidos de Arquímedes; los astrolabios y cuadrantes sugieren la medida del espacio y el tiempo. Un sutil cuadrado mágico de 4 x 4 de números enteros en la punta de su ala se refiere al número de Fibonacci y es un signo del orden matemático oculto de la naturaleza que convierte el mal en bien y vence la ansiedad, dijo el filósofo renacentista Marsilio Ficino. La fecha de 1514, en el centro de la última fila de la magia. cuadrado, celebra los terminación de esta obra maestra. Durero a Artista y matemático alemán de tratados sobre perspectiva y proporción, compartió con sus contemporáneos italianos teorizadores una filosofía del arte y una teología de la vida interior que revolucionó la Europa de la Reforma.
La imagen de Durero de la vida interior predice las alegrías paradójicas de las verdades matemáticas que informan incluso a la música. Considere su experiencia de cómo un concierto de Bach o una sonata de Mozart profundiza su percepción de la realidad. La estructura de la música es matemática, como mostró Pitágoras por primera vez. Lo mismo ocurre con los objetos duraderos de las matemáticas, que van desde la música hasta el arte y más allá, hasta la selección cultural y natural y la cosmología que describe la formación simétrica de la materia al comienzo del universo.
Las formaciones simétricas de materia expresan belleza en matemáticas. El concepto de grupo expresa simetría en matemáticas. ¿Qué es un grupo? Considere cualquier objeto, concreto o abstracto. Una simetría del objeto (matemáticamente, un automorfismo) es un mapeo del objeto sobre sí mismo que conserva todas sus propiedades. El producto de dos simetrías, una seguida de la otra, también es una simetría, y toda simetría tiene una inversa que la deshace. Las simetrías de un cuadrado se pueden obtener girándolo 90 grados o reflejándolo en el eje vertical. Los matemáticos consideran que los grupos de Lie (pronunciado lee ) son una hermosa base continua para una gran parte de las matemáticas y también para la física. Además de los grupos de Lie continuos, hay grupos finitos y discretos no continuos; algunos se pueden obtener de los grupos de Lie por reducción a un ajuste finito o discreto.
Cualquiera que desafíe el laberinto del diseño de interiores conoce las temibles simetrías de los papeles pintados en los tipos de celosía de mosaicos matemáticos para el paralelogramo, el hexágono, el triángulo, el rectángulo, el cuadrado y el rombo, en varias rotaciones y ejes de reflexión. A diferencia de los mosaicos de celosía, que son periódicos, también hay mosaicos cuasicristalinos auto-similares aperiódicos llamados mosaicos de Penrose, que llevan el nombre de su descubridor, el matemático y físico Roger Penrose. Si bien el número de tipos de celosía distintos es finito, existen exactamente 17 de ellos, existe un continuo de teselaciones de Penrose distintas. Pero por auto-similitud, cada pieza de un mosaico de Penrose dado aparece infinitamente muchas veces en todos los demás mosaicos de Penrose. Las teselaciones de Penrose fueron una gran sorpresa para los matemáticos, ya que sus propiedades espectrales son puntuales, parecidas a los patrones de difracción de rayos X puntuales de los cristales naturales.
Aún más sorprendente fue el descubrimiento ganador del premio Nobel por Daniel Schechtman de que los cuasicristales existen en la naturaleza como simetrías quíntuples de aleaciones aperiódicas de ciertos metales. El físico Paul Steinhardt, uno de los descubridores de los cuasicristales, ha mostrado maravillosamente su conexión con la asombrosa similitud entre los mosaicos de Penrose y los mosaicos islámicos medievales tempranos, o mosaicos de Girih. Imagínese que seis siglos antes de Penrose, los artistas y arquitectos islámicos introdujeron motivos de pentágono y decágono, mosaicos de simetrías pentagonales parciales que expresan la frágil belleza del arte atemporal. Estas sutilezas abstractas en matemáticas son herramientas para describir la naturaleza y obras de arte como los mosaicos de Girih y Penrose, simplemente hechos con dos mosaicos rómbicos básicos, uno estrecho y otro ancho, en formas precisas vinculadas a la proporción áurea, el pentágono y los pentágonos de estrella. . Las herramientas matemáticas de descripción nos ayudan a ver las estructuras universales de la naturaleza que de otro modo estarían ocultas, la proporción áurea, el pentágono estelar, cada uno de los cuales da lugar a normas formales de precisión en la abstracción social desde las matemáticas puras hasta el arte abstracto.
Los grupos finitos de simetrías, como las simetrías de un cuadrado o un cubo, desafiaron la clasificación durante mucho tiempo hasta que los matemáticos clasificaron con éxito todos los grupos finitos simples. El teorema de clasificación es una prueba de que hoy tiene más de 3000 páginas y tomó más de 40 años del esfuerzo colectivo de más de 100 matemáticos. Este teorema pone orden en la teoría de grupos finitos. Los grupos simples son importantes porque son una especie de piedra fundamental a partir de la cual se construye cada grupo finito. Por ejemplo, un grupo de rotaciones de un polígono de 15 lados se puede obtener mediante rotaciones combinadas de 120 grados y rotaciones de 72 grados, generando este último grupos simples. Los grupos alternos, comenzando con el grupo icosaédrico, y los grupos finitos de tipo Lie, forman un número finito de familias de grupos simples, pero con un número infinito de miembros en cada familia. Como los grupos de Lie clásicos, están estrechamente asociados a simetrías de geometrías subyacentes. Existen también 26 grupos excepcionales, bastante a diferencia de los grupos de tipo Lie, conocidos como grupos esporádicos. Dos grupos esporádicos son relevantes aquí: el grupo de simetría de Conway, llamado así por John Conway, las simetrías (hasta un reflejo) de una celosía muy notable en 24 dimensiones, la celosía Leech; y el grupo F1 de Fischer-Griess, demostrado por RL Griess mientras visitaba el Instituto de Estudios Avanzados. También apodado el Monstruo por los matemáticos, el grupo Fischer-Griess es el grupo esporádico más grande y gigantesco que contiene
808017424794512875886459904961710757005754368000000000
elementos. Contiene en su interior 21 de los 26 grupos esporádicos, ¡y el grupo Conway es uno de ellos! Por un desarrollo totalmente inesperado de la curiosa numerología 196883 + 1 = 196884, donde 196883 es un número crítico necesario para describir al Monstruo y 196884 es otro número, del estudio de 150 años de las funciones elípticas y automórficas, el Monstruo ahora tiene ha sido domesticado por su clara conexión con muchos campos distintos de las matemáticas y la física matemática. ¿No es hermoso que la cooperación persistente de los matemáticos domestique al Monster F1 ?
Se podría decir más de la belleza en las matemáticas, desde el frágil proceso de una sólida revisión por pares hasta cualquier consenso sobre lo que es verificablemente verdadero y bello. Incluso la cosa más simple en matemáticas, a saber, la secuencia numérica 1, 2, 3,. . . de la que toda la matemática tomó vida, contiene en sí misma un profundo misterio, la secuencia 2, 3, 5, 7,. . . de números primos que forman los componentes básicos de la multiplicación. Los matemáticos ya han descubierto hermosas relaciones entre las propiedades de los números primos, algunas firmemente establecidas. Pero las relaciones más importantes siguen siendo conjeturas, lo que plantea cuestiones abiertas en el análisis, la geometría e incluso la física. Vivir más aquí excedería nuestro alcance actual, por lo que terminamos nuestra lista de hermosos ejemplos con una famosa construcción que conecta las matemáticas con la lógica y la filosofía.
Los matemáticos siempre están buscando una prueba hermosa, nunca satisfechos con solo saber que algo es cierto. Quieren saber por qué es cierto. Tomemos el continuo, una antigua fuente de discordia entre filósofos griegos como Zenón, su paradoja surge de la divisibilidad infinita. George Cantor dio una definición matemática precisa del continuo que refleja nuestra visión ingenua de que es la totalidad de todos los números, escritos en notación decimal como un número entero seguido de una secuencia infinita de dígitos decimales, no todos iguales a 9 a partir de algún punto en adelante. (La definición de Cantor está sorprendentemente cerca de la concepción de número de Eudoxo).
Cantor elaboró un famoso argumento diagonal conocido como teorema de Cantor de la no contabilización del continuo. Esta poderosa demostración simple muestra que el continuo, es decir, todos los números reales entre 0 y 1, no se pueden enumerar en una lista como primero, segundo, tercero, etc. Por lo tanto, el continuo es incontable. Supongamos por contraejemplo que es contable en una lista infinita:
0.643546675432534645600112. . .
0.100053453647545546043860. . .
0.000000000000100004534237. . .
0,999999999961045674732017. . .
0.222955600333054564501179. . .
0.141592653589793238462643. . .
0,777777777777777777777777. . .
0.421047542507075505555001. . .
0,777777771777777777777777. . .
0,777777777177777777777777. . .
0.010010001000010000010000. . .
0.099999999999999900000000. . .
El marcador diagonal es 0,600952741109. . . , el enésimo dígito del enésimo número. Si cambia cada dígito del número diagonal, el resultado no puede estar en ninguna fila; por lo tanto, no está en la lista. ¡Una hermosa prueba! ¿Por qué? Porque demuestra universalmente que hay diferentes tipos de infinito, el infinito de números enteros positivos 1, 2, 3,. . . y el infinito del continuo 0_______1. Intuitivamente demuestra que existe un infinito discreto que es diferente del infinito del continuo, como una línea recta. El argumento diagonal de Cantor no se limita a este teorema; se ha convertido en una herramienta poderosa también en lógica matemática, sobre la naturaleza del infinito, y en informática, sobre la naturaleza de la complejidad. Piense en las asombrosas consecuencias matemáticas del teorema de Cantor para la geometría euclidiana. Las consecuencias filosóficas han sacudido irrevocablemente los fundamentos del análisis y cualquier juicio sintético a priori que refute la negación de Hume de que el verdadero conocimiento de cualquier metafísica es posible.
Cantor mostró que el infinito contable de números enteros positivos es menor que el infinito del continuo. La famosa hipótesis del continuo es la afirmación de que no existe un infinito más grande que el infinito contable y más pequeño que el infinito del continuo. La situación técnica es esta: Gödel demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos. Paul Cohen demostró que no se puede probar. Por tanto, la hipótesis del continuo es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos; no se puede probar ni refutar. La consecuencia filosófica es que el valor de verdad de la hipótesis del continuo es incierto o, en el mejor de los casos, indefinido. Kant creía que los axiomas de la geometría euclidiana eran ciertos. Pero ahora sabemos que también existen geometrías no euclidianas. Además, John Conway ha sugerido que hay afirmaciones matemáticas simples e inestables que no se siguen de los axiomas de la teoría de conjuntos. Entonces, ¿qué es la verdad en las matemáticas? ¿Existe alguna diferencia fundamental entre saber si los axiomas de la geometría euclidiana son verdaderos y saber si la hipótesis del continuo es verdadera? En cada caso, vemos que la verdad es intrínsecamente frágil y no debe identificarse con la ausencia de contradicción.
El razonamiento y la construcción axiomáticos poseen cada uno un tipo diferente de fragilidad. Los constructivistas y los intuicionistas ponen fuertes límites a lo que se puede hacer, mientras que el razonamiento axiomático sólo puede demostrar la existencia de un objeto sin método para construirlo. Es decir, el razonamiento axiomático puede mostrar que la hipótesis de que el objeto no existe conduce a una contradicción. El argumento diagonal de Cantor prueba que el continuo no es enumerable; sin embargo, no dice nada sobre la estructura del continuo. Además, el constructivismo sostiene que el razonamiento constructivo es correcto. Pero la práctica de la gran mayoría de los matemáticos es utilizar el razonamiento axiomático no constructivo y luego investigar las posibilidades de construcción que pueden ser simplemente una cuestión de gustos.
Hume fue el profeta escéptico del gusto que anunciaba el papel del sujeto - el yo - en la percepción de la belleza como el bien supremo del placer estético. Mucho antes de que Freud hiciera del principio del placer la norma fija de la intención humana, Hume había hecho del placer estético el estándar de belleza verificado por la evidencia de los sentidos. Pero la estética de los objetos de Kant antes de la percepción de la belleza - y de la verdad - revisó esa relación entre la realidad física y no física. Kant, el platónico, hizo de la belleza en sí misma la emanación revelada de la verdad matemática y de formas u objetos metafísicos puros. ¿Cómo se puede verificar la verdad como belleza si es una revelación del reino de las formas puras de Platón? ¿Con qué evidencia de los sentidos verificas una revelación? ¿Y son los sentidos verificables de forma fiable? ¿Es la percepción de la belleza una mera proyección del deseo de placer para evitar o reprimir el dolor? ¿Es físico un objeto matemático real o no? ¿Qué es un objeto real? ¿La verificación matemática de la verdad participa de la realidad física porque se descubre, o porque se inventa a partir de la cultura de las obras humanas y los frágiles procesos de selección cultural? ¿Realmente una prueba salva la apariencia de formas puras descubiertas en un reino místico de objetos hermosos?
Preguntas análogas en el arte, la poesía, la música y la historia informan la cuestión de la belleza debido a su papel profundamente personal en la formación de las obras y los valores humanos. Los matemáticos trabajan como poetas o pintores: la diferencia es que una sala de matemáticos que mira un problema obtiene la misma respuesta dentro de una comunidad que valora y requiere consenso. La construcción de objetos matemáticos por parte de los individuos es frágil; Sin embargo, estos objetos en sí mismos son robustos debido a normas sociales duraderas de revisión por pares y consenso. Como los poetas, pintores y compositores de música, los matemáticos tienen su propio estilo y técnica. Pero la verdad matemática no es solo una colección de teoremas, como tampoco la pintura es una mera colección de pigmentos. Para los matemáticos, como demostró Tarski, los teoremas son verdades establecidas, obtenidas por una frágil construcción de pruebas que conducen a un consenso de verificación. El proceso de construcción frágil a verificación robusta no solo describe las normas sociales de la comunidad matemática; también apunta al discernimiento gradual de relaciones entre los objetos matemáticos de una demostración.
Los matemáticos, a veces involuntariamente, tienden a aceptar el concepto de aspecto de Wittgenstein - la percepción temporal de las relaciones internas de un objeto - como una parte esencial de las matemáticas. Esto se debe a que cualquier aspecto, elemento o propiedad de las relaciones entre objetos o pruebas se despliega indeterminadamente a la luz cambiante de la percepción, al igual que el aspecto relacional de los objetos tiende a cambiar cuando miras una pintura. Un poema, una sinfonía, una pintura o una narración escrita fijada en el tiempo nunca cambia, pero la forma en que lee un texto o escucha música o mira el arte cambia con los cambios temporales en la emoción, el gusto o los ángulos de luz y espacio. que hacen que el consenso sea irrelevante. La historia portadora de la verdad se hace independientemente de la belleza o bondad de los eventos de representación académica, aunque los historiadores valoran el consenso sólido sobre las frágiles verdades históricas como objetos y relaciones del análisis fáctico. La poesía rara vez se escribe ahora para ser bella o incluso necesariamente verdadera, sino más bien para satisfacer una poderosa conciencia preverbal de la forma en que el poema cambia las cosas, aparte de cualquier análisis formal de aspecto. Citando a Keats,
"La belleza es la verdad, la verdad la belleza, eso es todo
Lo sabes en la tierra, y todo lo que necesitas saber ".
